Proof:理解零知識證明算法之Bulletproofs：Range Proof (2)

前言

在本系列的第一篇文章中，我們介紹了Bulletproofs在Rangeproof上的應用，當prover想要證明v值在范圍內時，他需要發送2n+7個元素。然而，這種O(n)級的CC并不是我們想要的，希望能尋找一種方法可以把CC降低到O(log(n)級。

所以，本篇我們就主要介紹這個優化過程，主要分為兩部分：

以簡單的場景去闡述這個優化過程把第一篇的Rangeproof結果嵌入到優化過程注：第一篇文章由于格式的原因，公式顯示會有誤差，向量的特殊標記也沒有顯示出來，因此本篇將以圖片的形式展示整個過程；另外，本文最后也附上了第一篇文章的圖，幫助大家理解^_^

比特大陸宣布推出Filecoin礦機:7月20日消息，礦機制造商比特大陸宣布推出Filecoin礦機，首次進入Filecoin挖礦領域。每臺Filecoin礦機價格38888美元，規格為4300T，委托質押服務費每月最低0.5%。銷售將于7月21日22點（北京時間）開始。[2023/7/20 11:07:47]

ImprovedRangeproof----Asimpleexample

美國特勤局聲稱持有加密貨幣并已推出NFT:5月16日消息，美國特勤局舊金山外地辦事處和灣區地區執法聯合計算機小組（REACT）在Reddit上舉辦了一場 AMA 活動，表示區塊鏈的公開性和透明性是打擊犯罪分子追蹤資金流動的絕佳機會。

此外REACT工作組表示自己是加密貨幣持有者也是加密貨幣愛好者，并在回答是否會考慮推出自己的memecoin時表示已在 OpenSea 上推出自己的 NFT 系列。（Cointelegraph）[2023/5/16 15:05:22]

1.預備知識

比特幣閃電網絡通道數量為76,645個:金色財經報道，1ML數據顯示，當前比特幣閃電網絡節點為16,275個，過去30天增加1.28%;通道數量為76,645個，較一個月前增加了0.8%;網絡容量為5,442.54枚BTC，月漲3%。[2023/2/27 12:30:51]

2.一個簡單的場景

3.復雜度優化到O(log(n))

下圖是一張基于上述過程的交互協議

有幾點需要說明：

圖的右半部分分為兩個部分a.黃色部分為文章前面部分講述的過程。這又分為三個部分：?i.初始化：省略了P的計算和交互的過程，我們假定開始此證明協議前，驗證者已經有了一些基本的信息。這并不嚴謹，僅僅是為了清晰的表示后面的交互過程

?ii.LOOP：一個不斷迭代的過程，每次迭代，會:

產生一對(Li,Ri)，所有向量長度減半Verifier計算P?i?/g?i?/h?i`?iii.End：最后一步，向量a,b已減半成常量a,b

?b.綠色部分為黃色部分的進一步優化，優化思想主要是多次冪乘操作縮減成單詞冪乘操作，具體的是：

?i.上述LOOP中的第3步，延遲到最后一部一次性計算

ArealRangproof

回顧第一篇文章，我們知道，當我們要證明v屬于時，驗證者最終要驗證：

對關系式做個變換：

因此，prover是要證明有向量l，r滿足關系：

基于此關系，使用上述協議，就可以使rangeproof的交互復雜度降低到對數級。現在，是不是找到點內味了？

總結

本篇文章主要講到了，BulletProof是如何把Rangeproof的CC降低到O(log(n))，并且介紹了更近一步的優化。結合第一篇文章，相信你已經對基于Bulletproofs的Rangeproof原理有了整體的了解，在本系列的第三篇文章中，將給大家分享Rangeproof的工程上實現細節。

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